29.01.2012 17857

Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач

 

Методика обучения любому комбинаторному содержанию должна базироваться на определенных исходных положениях, в которых находит определение взаимосвязь основных компонентов процесса обучения: целей, содержания, деятельности учителя и деятельности учащихся.

Эти положения могут носить общий или частный характер. В качестве общих положений выступают психологические закономерности, дидактические принципы, психолого-педагогические и методические концепции.

В соответствии с ними формулируются частные положения, учитывающие непосредственно специфику содержания, которое подлежит усвоению.

Методика обучения решению комбинаторных задач разрабатывалась в рамках методической системы развивающего обучения младших школьников математике (Н.Б. Истомина), которая выражает необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания.

Нацеленность начального курса математики на формирование приемов умственной деятельности позволяет установить внутреннюю связь между развивающими условиями обучения и способами их достижения, так как в процессе усвоения знаний, умений и навыков приемы умственной деятельности выполняют различные функции и их можно рассматривать:

1) как способ организации учебной деятельности школьников;

2) как способы познания, которые становятся достоянием ребенка, характеризуя его интеллектуальный потенциал и способности к усвоению знаний;

3) как способы включения в процесс познания различных психических функций: эмоций, воли, чувств, внимания; в результате интеллектуальная деятельность ребенка входит в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с ее направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний т.е. характеризуется возрастающей активностью личности в различных сферах ее деятельности.

Средствами реализации данной концепции являются:

– тематическое построение курса, создающее условия для осознания школьниками связей между новыми и ранее изученными понятиями, для осуществления продуктивного повторения, для активного использования в процессе обучения приемов умственной деятельности;

– новый методический подход к изучению математических понятий, свойств и способов действий, в основе которых лежит установление соответствия между предметными, графическими (схематическими) и символическими моделями, их выбор, преобразование и конструирование в соответствии с заданными условиями;

– новый методический подход к формированию вычислительных навыков и умений, который создает условия не только для повышения качества вычислительной деятельности младших школьников, но и для развития их мышления;

– новый методический подход к обучению младших школьников решению текстовых задач, в соответствии с которым дети знакомятся с текстовой задачей только после того, как у них сформированы те знания, умения и навыки (навыки чтения, усвоение конкретного смысла сложения и вычитания, приобретение опыта в соотнесении предметных, словесных, схематических и символических моделей, знакомство со схемой как способом моделирования), которые необходимы им для овладения умением решать текстовые задачи;

– включение в учебник диалогов между Мишей и Машей, с помощью которых детям предлагаются для обсуждения варианты ответов, высказываются различные точки зрения, комментируются способы математических действий, анализируются ошибки. Диалоги помогают учителю не только привлечь учащихся к обсуждению того или иного вопроса, но и самому включиться в эту работу, заняв тем самым позицию не контролирующего, а помогающего детям и сотрудничающего с ним.

Органически вписываясь в логику построения содержания курса, в методику обучения решению задач, в систему учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают знания, умения и навыки, комбинаторные задачи выступают как одно из средств реализации методической концепции развивающего обучения младших школьников математике.

Возможность данного положения обусловливается спецификой комбинаторных задач, решение которых требует активного использования таких приемов умственной деятельности как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.

Методика обучения решению комбинаторных задач находится в соответствии с методическим подходом к формированию у младших школьников математических понятий, который связан с установлением соответствия между различными моделями. Возможность такого соответствия определяется способами решения комбинаторных задач. Так способ перебора (хаотичного и системного) позволяет детям решать комбинаторные задачи, опираясь на имеющийся у них опыт, на предметно-действенное и наглядно-образное мышление.

Используя для решения комбинаторных задач таблицы и графы, учащиеся фактически переводят вербальные модели в схематические. Тем самым у них формируются представления о моделировании как способа решения задач.

Тематическое строение развивающего курса математики создает условия для включения комбинаторных задач в процесс усвоения содержания основных вопросов программы. Тем самым обеспечивается вариативность учебных заданий, нацеленных на усвоение знаний, умений, навыков и на формирование приемов умственной деятельности.

При этом курс не перегружается информацией, так как для решения комбинаторных задач не требуется введение новых понятий и терминов.

Покажем возможность взаимосвязи комбинаторных задач с содержанием начального курса математики, выделив основные вопросы для каждого класса.

1 класс:

1. Признаки предметов

2. Сложение. Состав числа.

3. Двухзначные числа.

2 класс:

1. Понятие текстовой задачи. Структура задачи.

2. Умножение.

3. Трехзначные числа.

3 класс:

1. Текстовые задачи на четыре арифметических действия.

2. Порядок выполнения действий.

3. Четырехзначные, пятизначные и шестизначные числа.

4 класс:

1. Текстовые задачи.

2. Многозначные числа.

Данный курс начинается с уточнения представлений детей о признаках (свойствах) предметов. Это позволяет использовать опыт младших школьников и имеющиеся у них математические представления для организации целенаправленного наблюдения, которое включает в себя такие мыслительные операции, как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.

При организации деятельности учащихся в соответствии с концепцией курса нельзя не учитывать, что и жизненный опыт, и запас математических представлений, и развитие речи, и готовность к школе каждого ребенка различны. Но несмотря на эти различия необходимо создать на уроке комфортные условия для активного включения в работу всех детей, помочь им адаптироваться к школьной обстановке, научиться общаться друг с другом и с учителем.

Для этой цели в учебник включены задания, формулировка которых предполагает различные способы их выполнения, что и позволяет учесть различия в степени подготовленности детей. Специфика описываемых заданий заключается в общей формулировке вопросов: «Чем похожи?», Чем отличаются?», «Что изменилось?», «Что не изменилось?», «Что одинаково?», «Что неодинаково?».

Данные формулировки заданий позволяют учесть и тот факт, что учитель пока еще пока ничему не научил своих учеников. Здесь каждому ребенку предоставляется возможность «увидеть» то, что он способен увидеть на данном этапе, дополнить ответ другого, обсудить - верен ли ответ.

Целенаправленная работа по формированию приемов умственных действий на первых уроках учитывает как различный опыт ребенка, так и различный уровень его математической подготовки. В результате этой работы у первоклассников формируются представления о признаках предметов, об их изменении, о расположении в пространстве, об их количестве, которые тесно связаны с операцией счета. На этих же уроках ребенок адаптируется к школьной обстановке, овладевает общеучебными умениями: работать с учебником, слушать учителя и других учеников, принимать участие в обсуждении, работать в тетради и т.д.

Комбинаторные задания органически включаются в общую систему заданий, предлагаемых в учебнике по теме « Признаки предметов» и в то же время имеют свою специфику. Она заключается в том, что, выполняя задания учебника, учащиеся анализируют и сравнивают уже данные совокупности, а при выполнении комбинаторных заданий они сами образуют различные совокупности предметов, отличающиеся друг от друга теми или иными признаками. Причем другие совокупности получаются в результате преобразования данной.

Приведем в качестве примера такое задание: «Весной первоклассникам было поручено посадить 3 дерева: клен, ель и рябину на пришкольном участке. В каком порядке ребята могут посадить эти деревья?»

Деятельность учащихся при выполнении данного задания можно организовать по-разному, используя различные методические приемы:

а) Задание можно выполнить фронтально на доске, заготовив для этого заранее три комплекта карточек с данными предметами (деревья: клен, ель и рябину).

Сначала предметы выставляются в той последовательности, как они предложены в задании. Затем обговариваются возможные изменения. Предложения детей обсуждаются.

Обычно они предлагают два варианта переставить: (поменять местами) клен и ель или ель и рябину. Оба эти варианта выставляются на доске, и выясняется, изменился ли порядок.

КЕР

ЕКР

КРЕ

Комментируя результаты сравнения, дети пользуются порядковыми числительными («клен был на первом месте, а теперь на втором», «а в третьем случае поменялись местами ель и рябина»).

Находятся ученики, которые замечают, что «клен можно поставить на первое место два раза» (другими словами, они самостоятельно приходят к системному перебору).

Обычно такие предложения не проходят бесследно для других детей. И они делают попытку (аналогию) повторить этот же прием для другого предмета (например, для ели или для рябины). В результате сравнения ученики убеждаются в том, что попытка удалась, и берут ее на вооружение. Отсюда можно сделать вывод, что выполнение комбинаторного задания на перестановки вполне доступно учащимся и они могут справиться самостоятельно.

б) Возможно использовать и групповую форму работы: парами, четверками, группой из шести человек. При организации работы парами каждому ученику предлагается комплект, состоящий из трех предметов. Учитель дает задание каждой паре: «Расположите предметы в разном порядке». Дети успешно справляются с этим заданием, сравнивая самостоятельно две совокупности. После этого учитель предлагает выписать все варианты на доску для фронтального обсуждения.

в) Наконец, третий вариант связан с самостоятельной индивидуальной работой. В этом случае каждому ученику дается карточка, на которой деревья обозначены буквами К, Е, Р, и каждый ученик работает в меру своих возможностей в течение времени, которое отводит учитель. Все возможные варианты перестановки опять же выясняются в процессе обсуждения.

Отметим, что, организуя процесс выполнения комбинаторных заданий, учитель вполне может обойтись без показа образца, создав тем самым детям условия для самостоятельного поиска.

Образец в данном случае заменяется более доступным для детей заданием, которое подготавливает их к выполнению более сложного.

Рассмотрим в качестве примера такие задания:

а) На полке стояли три чайные чашки. Маме нужно взять две. Одну она взяла. Какую вторую чашку мама может выбрать? (Словесная формулировка задания сопровождается рисунком или реальными предметами).

б)  Среди трех чашек у мамы есть две любимые. Какие это могут быть чашки?

Выполнение первого задания лучше обыграть (прием драматизации). Девочка у доски выполняет роль мамы. На столе у учителя три чашки. Проигрывая описанную в задаче ситуацию, она берет со стола красную чашку, а затем одну из двух -голубую или зеленую. Взяв голубую, она имеет комбинацию из двух чашек, красной и голубой. Затем, поставив голубую на стол, составляет комбинацию из красной и зеленой. Таким образом, чтобы выбрать вторую чашку, у мамы есть два возможных варианта.

Второе задание это - фактически комбинаторная задача на сочетание. Полезно обсудить с детьми, чем отличаются друг от друга данные задания. Проигрывание первого задания позволяет детям легко ответить на этот вопрос (в первом мама уже взяла одну чашку, а во втором надо выбрать самим две чашечки из трех). Поэтому число вариантов выбора увеличилось.

Как видим, выполнение комбинаторных заданий органически вписывается в подготовительный этап знакомства детей с текстовой задачей, формируя у них умения представлять ситуацию, заданную вербально, и переводить словесную модель в предметно-действенную.

После выполнения этих заданий полезно предложить задание аналогичное перестановке деревьев, а именно «Маме нужно расставить три чашки на полке в разном порядке. Как она может это сделать?»

Приведем задания, которые выполняют учащиеся при изучении темы «Признаки предметов».

1. Красками трех цветов: голубой, желтой и красной раскрась мячики так, чтобы они отличались друг от друга.

2. У Тани на полке стояли три игрушки: кукла Барби, Мишка и Тигренок. Выбери для девочки две любимые.

3. Сережа поставил на полку 3 книги; русские, узбекские и белорусские сказки. В каком порядке он мог их поставить?

Основная цель темы «Сложение» - разъяснить смысл действия сложения и познакомить младших школьников с той терминологией, которая употребляется в математике при сложении (выражение, сумма, слагаемые, значение суммы, равенство). Основа этого разъяснения - взаимосвязь сложения натуральных чисел с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств, которая легко интерпретируется на действиях с предметами. Идея же перевода различных действий с предметами на язык математики является наиболее плодотворной для усвоения детьми смысла арифметических действий.

Рассмотрим задания, которые могут быть включены в процесс изучения этой темы: «У Коли среди игрушек 5 грузовых и 4 легковые машины. Для игры ему нужно взять одну. Сколько вариантов выбора одной машины есть у Коли?» Выбрать одну грузовую машину мальчик может пятью способами, а легковую - четырьмя. Значит, выбрать либо грузовую, либо легковую машину можно 4+5=9 способами.

Выполнению таких заданий предшествует подготовительная работа по выбору одного предмета из определенной совокупности.

1. «У Даши на книжной полке стоят сборники стихов ее любимых поэтов А. Барто, А. Пушкина, С. Маршака, К. Чуковского, И. Благининой. Сколько вариантов выбора одной книги есть у Даши?».

Процесс выполнения того задания лучше драматизировать, пригласив одну девочку к доске и предложив ей сделать выбор сначала одной, затем другой, третьей и т. д. книг. Таким образом, выполнение таких заданий подводит детей к выводу, что если есть наборы из 5 предметов, то выбрать один можно пятью способами.

2. «Никита на даче выращивал розы. К приезду мамы у него распустились три бутона: белый, розовый и красный. Сколько выборов одного цветка для мамы есть у Никиты?».

Процесс выполнения задания сводится к тому, что мальчик поставлен перед выбором: какую розу лучше подарить маме? Так как к ее приезду расцвели только три, то и выбор он должен сделать из трех цветков. Значит, у него есть три варианта выбора.

3. «У Винни-Пуха в запасе было 5 банок липового и 4 цветочного меда. Три банки он подарил Пятачку. Какой мед он мог отдать?»

Выполнение этого задания сопровождается записью всех возможных вариантов на доске (фронтальная работа). С помощью символической записи (Л - липовый мед, Ц - цветочный мед) названные варианты записываются на доске. После того, как все возможные случаи будут названы, полученные варианты обсуждаются.

Целесообразно предложить ученикам изменить условие задачи так, чтобы Пятачку был подарен мед разного сорта. Это станет возможным, если количество банок с липовым и цветочным медом у Винни-Пуха будет меньше, чем он подарит Пятачку.

Заметим, что выполнение комбинаторных заданий в теме «Сложение» не связано со структурой задачи. Такие термины, как «условие, вопрос, известные, неизвестные», детям не сообщаются. Так как задания выполняются практически, не ставится такая цель, как овладение ребенком формой записи решения задачи.

В процессе усвоения школьниками конкретного смысла действия сложения можно предложить задачи.

1. От остановок автобуса до дачи ведут три дороги вдоль озера и одна через лес. Сколько вариантов выбора дороги до дачи есть у дедушки с внуком, приехавшими на автобусе?

2. В конкурсе кошек принимали участие 7 сиамских и 2 персидских кошечки. Сколько способов выбора одной кошечки на 1 место есть у жюри?

3. В отделе «Ткани» 5 расцветок шелка и 3 расцветки сатина. Сколько способов выбора ткани на платье дочери есть у мамы?

В соответствии с концепцией курса основным способом усвоения состава однозначных чисел является соотношение предметных действий с математической записью. Задания, в процессе выполнения которых ученики усваивают состав каждого однозначного числа, органически дополняются заданиями комбинаторного характера.

Например:

1. «Бабушка испекла 7 пирожков с капустой и земляникой. Каких пирожков и сколько испекла бабушка?»

Приступая к выполнению задания, важно обратить внимание детей на то, что бабушка испекла и пирожки с капустой, и пирожки с земляникой. Затем первоклассники приступают к составлению возможных вариантов:

7=1+6

7=2+5

7=3+4

7=5+2

7=6+1.

Варианты повторяющихся слагаемых обязательно оговариваются, один пирожок с капустой и шесть пирожков с земляникой - это не то же самое, что один с земляникой и шесть с капустой.

2. «Во время футбольного матча между учениками 1 «А» и 1 «Б» классов было забито пять голов. Сколько голов могла забить каждая команда?» Поиск возможных вариантов в этом задании отличается от предыдущего, так как в нем возможен вариант 5=5+0, то есть ситуация, когда голы забивались только в одни ворота.

При изучении нумерации двухзначных чисел деятельность учащихся направляется на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления и на соотношение разрядных единиц. Следует отметить, что комбинаторные задания, связанные с изучением этой темы, включены в различные учебники для начальных классов, однако у многих детей они вызывают затруднения и поэтому чаще всего классифицируются как задания повышенной трудности. Речь идет о заданиях типа: «Из цифр 5, 3, 7, 9 составь все возможные двузначные числа».

В процессе экспериментальной работы комбинаторные задания были адресованы всем детям. Исходя из этого была продумана система заданий, включенная в тему «Двузначные числа». Пользуясь опытом выполнения комбинаторных заданий с предметами, учащиеся легко справились с заданием: «Из цифр 1, 2, 3 составь различные двузначные числа, записав все возможные варианты».

После этого им было предложено задание: «Из цифр 4, 5, 6, 7 составь различные двузначные числа». В ходе фронтальной проверки, после индивидуально выполненной работы, выясняется, что количество двузначных чисел у всех разное. Тогда полученные варианты выписываются на доске, и дети убеждаются, что их намного больше, чем записал каждый из них. И вот здесь важно показать ученикам, как можно организовать работу, чтобы все нужные варианты были найдены. Это начало систематической работы, целью которой является овладение младшими школьниками методом системного перебора.

Здесь важно акцентировать внимание детей на способе действия, который полезно проговаривать, «рассказывать» о том, как были построены те или иные комбинации и почему именно так.

Помимо заданий, имеющихся в различных учебниках, в содержание эксперимента в данную тему были включены и другие задания.

1. «Из цифр 2, 3, 4, 5 составь двузначные числа, чтобы число десятков было больше числа единиц».

Исходя из условия задачи, понятно, что не нужно записывать все двузначные числа. Варианты чисел должны быть такими, чтобы первая цифра в их записи была «старшей».

2. «Сколько существует двузначных чисел, сумма числа десятков и единиц которых равна 16?»

В задании нужно провести неполный перебор возможных вариантов. Достаточно только выбрать цифры для записи этих чисел (сумма которых дает число 16), а их всего три: 7, 8, 9.

Примером сокращенного перебора может служить и такое задание: «У Пети четыре мягкие игрушки: волк, заяц, крот и енот. Он решил посадить их на одну полку так, чтобы первым был волк, а заяц не сидел рядом с ним».

Наряду с сокращенным перебором в эксперименте использовались задания, в которых операция перебора повторяется неоднократно по отношению к разного рода объектам.

Примером таких заданий могут служить следующие задания.

1. «Между числами 8...3...4... расставить знаки «+» и «-», получив тем самым все возможные выражения.»

Для выполнения требования задачи нужно провести полный перебор вариантов:

8+3+4

8-3-4

1) Два знака в выражении могут быть одинаковыми;

2) Знаки могут быть разными: 8-3+4; 8 +3-4

После выполнения задания детям можно предложить детям найти значения полученных выражений.

2. Между числами 4...5...7 расставить знаки «+», «-» таким образом, чтобы значения этих выражений имели смысл.

Из предыдущего задания известно, что таких вариантов может быть четыре, но, в силу дополнительного условия, нет необходимости рассматривать варианты 4-5-7, 4-5 + 7, т.к. значение их ученики начальной школы вычислить не могут, поэтому при выполнении таких заданий осуществляется сокращенный перебор.

Таким образом, в программное содержание первого года обучения математике в систему развивающего обучения четырехлетней начальной школы были включены комбинаторные задания с небольшим количеством элементов, число выбора вариантов сознательно ограничивалось, перебор возможных вариантов в основном проводился хаотически. Основными методическими приемами на данном этапе обучения были: метод раскрашивания, манипуляции с предметами и их моделями, драматизация (обыгрывание описанных в заданиях ситуаций), использование символических записей.

Во втором классе, согласно программному содержанию, учащиеся знакомятся с понятием «текстовая задача». В процессе работы у учащихся формируются навыки чтения, представления о смысле арифметических действий сложения и вычитания, основные мыслительные операции - анализ и синтез, сравнение, умение описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и математических символов, умение чертить, складывать и вычитать отрезки, умение переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели.

Овладение данными умениями является необходимым условием целенаправленной работы над развитием мышления школьников в процессе обучения решению текстовых задач.

При этом существенным является не отработка умения решать определенные типы (виды) текстовых задач, а приобретение опыта в семантическом и математическом анализе различных текстовых конструкций, формирование умения представлять их в виде схематических и символических моделей, усвоение структуры задачи и овладение формами записи ее решения.

Предметом такого же анализа становятся комбинаторные задания. Учащиеся самостоятельно приходят к выводу, что их можно классифицировать как задачу. Это создает условия для знакомства младших школьников с новым способом решения комбинаторных задач и с формой их записи (таблицей).

Таким образом, наряду с арифметическими задачами решаются задачи комбинаторные.

Использование таблиц в процессе решения комбинаторных задач помогает младшим школьникам в последовательном поиске всех возможных вариантов. Однако число объектов, из которых составляются комбинации, остается небольшим, а количество комбинаций - все возможные.

Составление таблиц в процессе решения задач помогает избежать повторения одной и той же комбинации; составить все возможные комбинации и исключить не удовлетворяющие условию.

Например: 1) «Ты собираешься нарисовать картину, но у тебя только три краски: желтая, красная и синяя. Сколько различных новых цветов ты можешь получить, смешивая эти краски по две?»

Ученики чертят таблицу. В ходе обсуждения выясняется, что, смешивая две красные краски, нельзя получить новую. Аналогично нельзя получить новых красок, если смешивать синюю с синей и желтую с желтой. В таблице эти клеточки зачеркиваются. Дети заполняют пустые клеточки. После выполнения этой работы следует обратить внимание на смеси красной краски с синей и синей краски с красной. Смешивая по две этих краски, мы получим только одну новую. Значит, в таблице убираются (зачеркиваются) варианты смесей, дающих только одну новую. Итак, из трех красок: красной, синей и желтой можно получить только три новых, если смешивать их по две.

Умение составлять таблицы в процессе решения задач и находить возможные варианты с учетом условия задачи помогает ученикам в решении задач с большим числом объектов. Например: 2) «В танцевальном кружке занимаются пять мальчиков: Олег, Вова, Стае, Андрей и Иван и пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша. Сколько различных танцевальных пар можно составить?»

Все возможные варианты дети записывают в таблицу. Затем по таблице проводится анализ, все ли варианты удовлетворяют условию: а) нет ли среди получившихся пар повторяющихся; б) нет ли пар: мальчик - мальчик, девочка - девочка. Только после этого можно, пересчитав число вариантов, ответить на вопрос задачи.

3) «Для начинки пирогов бабушка приготовила капусту, рыбу, мясо, щавель и землянику. Чтобы пироги были вкусными, она решила смешивать по две начинки. Какие пироги испекла бабушка?»

Решение этой задачи предлагается второклассникам для самостоятельной работы, так как ситуация, описанная в ней, встречается в жизни каждого ребенка и, решая ее, он опирается на свой жизненный опыт.

В результате анализа выполнения работы выясняется, что сложных начинок для пирогов у бабушки получилось совсем немного: капуста с рыбой, капуста с мясом и земляника со щавелем. Аргументы такого выбора вариантов следующие: а) нельзя смешивать одинаковые начинки; б) нужно убрать (вычеркнуть) повторяющиеся; в) пироги должны быть вкусными.

Таким образом, становится очевидным, что в процессе знакомства с текстовыми задачами второклассники решают комбинаторные задачи, связанные с сочетаниями и размещениями. Поэтому необходимо обратить внимание детей на задачи, в которых важен порядок записи элементов в комбинации (чаще это связано с задачами на составление двузначных, а далее и трехзначных чисел), а в каких нет.

При изучении нумерации трехзначных чисел деятельность учащихся направлена на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления. Комбинаторные задачи на размещения органически включаются в данный раздел развивающего курса математики начальной школы, так как при составлении таких комбинаций учитывается порядок в записи ее элементов.

В теме «Умножение» большое внимание уделяется разъяснению предметного смысла действия умножения, усвоению детьми его определения как сложения одинаковых слагаемых и осознанию ими новой математической записи. Для этой цели в учебнике предложены различные виды упражнений:

а) на выделение признаков сходства и различия данных выражений;

б) на соотнесение рисунка и числового выражения;

в) на запись числового выражения по данному рисунку;

г) на выбор числового выражения, соответствующего рисунку;

д) на замену произведения суммой;

е) на сравнение числовых выражений и т.д..

Изучение нового арифметического действия связано с серией комбинаторных задач, в процессе которых также составляются таблицы. Например: «Среди Таниных вещей есть три платья и два воротника. Сколькими способами можно выбрать платье с воротниками?» Исходя из того, что есть три платья и два воротника, составляется таблица. Заполнив таблицу и пересчитав полученные варианты, ученики рассуждают: «Было три платья. Значит, одно платье можно выбрать тремя способами. Было два воротника. Один можно выбрать двумя способами. А платье и воротник мы выбрали шестью способами, т.е. у нас получилось шесть возможных вариантов».

Полученный таким образом вывод проверяется на такой задаче: «У Антона трое шорт и три футболки. Сколько костюмов из шорт и футболок он может составить?»

Пользуясь аналогией с предыдущей задачей, ученики отвечают, что 9. Чтобы убедиться в правильности ответа, составляется таблица и подсчитывается число возможных комбинаций.

Умение проводить системный перебор с помощью таблицы создает условия для открытия учащимися нового способа решения комбинаторных задач - правило произведения.

Правило произведения (формулировка и название его) не даётся в начальной школе. Весь процесс применения правила строится с опорой на рассуждения учебника, ученик проговаривает свои действия, что позволяет решать комбинаторные задачи там, где применить таблицу невозможно.

Таким образом в программное содержание второго года обучения математике в систему развивающего обучения четырехлетней начальной школы были включены комбинаторные задачи на перестановки, размещения и сочетания с небольшим числом элементов. Выбор возможных вариантов проводился методом системного перебора и с использованием правила произведения, которое не давалось в явном виде, а использовалось второклассниками проговариванием своих действий в процессе решения комбинаторной задачи.

Основные вопросы третьего и четвертого года обучения математике в начальных классах - нумерация многозначных чисел и текстовые задачи на четыре арифметических действия.

Нумерация многозначных чисел в курсе третьего класса представлена темами «Четырехзначные числа» и «Пятизначные числа». Основными способами усвоения десятичной позиционной системы счисления являются: анализ многозначных чисел с точки зрения их разрядного состава, выявление признаков сходства и различия в конкретных числах, построение рядов чисел в соответствии с определенными правилами.

Комбинаторные задачи, органически включенные в содержание данного раздела, помогают в реализации основных задач на данном этапе обучения младших школьников. Умение проводить системный перебор с помощью таблиц и правила произведения находит применение и при решении задач в 3-4 классах. Наряду с этим ученики знакомятся с новыми способами проведения системного перебора - «граф-дерево» («деревом решений», «деревом возможных вариантов») и линейными графом.

Использование «дерева» решений поможет ученикам и в решении таких задач.

3. «Сколько букетов можно составить, если брать по одному цветку из каждой вазы?

1 ваза - шафран, пион;

2 ваза - лилия, нарцисс, тюльпан;

3 ваза - гвоздика, фиалка, незабудка?».

4. «Сколько различных комплектов обедов из трех блюд можно составить, если в меню есть на первое - борщ и суп, на второе - пельмени, манты, чебуреки, на третье - компот, чай, молоко, сок?»

На примере данной задачи целесообразно рассмотреть два способа ее решения: с помощью «графа-дерева» и правила произведения. Эта работа проводится самостоятельно с проговариванием каждого шага действия. Ученикам заготовлены индивидуальные карточки для построения «графа-дерева» и проведения системного перебора с использованием правила произведения.

Карточка 1.

Первое блюдо.

Второе блюдо.

Третье блюдо.

Расставляя точки по количеству блюд каждого вида, и соединяя их отрезками, дети самостоятельно строят «граф-дерево», а затем подсчитывают число возможных комплектов обеда.

Карточка 2.

Первое блюдо можно выбрать - …способ.

Второе блюдо можно выбрать - …способ.

Третье блюдо можно выбрать - …способ.

Комплект из трех блюд можно выбрать - …способ.

Использование этих способов решения комбинаторных задач целесообразно, когда приходится составлять наборы более чем из 2 элементов. Овладение ими дает возможность решения комбинаторной задачи, т.е. он овладевает навыками самопроверки.

На примере решения комбинаторных задач младшие школьники знакомятся с графами как способом их решения.

Таким образом, в программное содержание третьего и четвертого года обучения математике в системе развивающего обучения были включены комбинаторные задачи, связанные с перестановками, размещениями и сочетаниями элементов с большим числом элементов, чем во втором классе. Выбор возможных вариантов осуществляется методом системного перебора с помощью таблиц, графов, «дерева» возможностей и с использованием правила суммы и правила произведения. Органическое включение комбинаторных задач в программное содержание позволяло избежать перегрузки учащихся дополнительной научной информацией.

 

АВТОР: Виноградова Е.П.